Desigualdades

Una condición en  es una expresión que contiene la variable  y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye  por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.

El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.

La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.

Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

• Si  entonces  para todo número real .
• Si  y  entonces  y .
• Si  y  entonces  y .

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad

Las siguientes desigualdades son equivalentes:

Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo , que se muestra en la figura siguiente